Lema 6.20

Enunciado

Si $A$ es un retracto de $X$, entonces el homomorfismo inducido por la inclusión $\iota :A\to X$:

es inyectivo para todo $a\in A$.

Demostración

Sea $r$ a retracción de $X$ en $A$ y sea $[\alpha {]}_A,[\beta {]}_A\in {\pi }_1(A,a)$. Entonces

Como $[\alpha {]}_X=[\beta {]}_X$, existe una homotopía por caminos $H:I\times I\to X$ entre $\alpha$ y $\beta$. Sea entonces $\tilde{H}:I\times I\to A$, la homotopía definida en el lema 6.16, bien definida pues las imágenes de los caminos lo están en $A$. Además, puesto que $\tilde{H}$ es una homotopía por caminos, se tiene que $[\alpha {]}_A=[\beta {]}_A$.